关于稀疏厄米随机矩阵特征多项式相关函数的研究

我们考虑了在有限$p$以及$p \to \infty$情形下，对应于具有高斯权重的随机加权$G(n, \frac{p}{n})$ Erdős--Rényi图的特征多项式相关函数的渐近行为。结果表明，对于有限$p$，第二相关函数表现出一种相变：当$p < 2$时，它在$n \to \infty$极限下因子化；而对于$p > 2$，会出现一个区间$(-\lambda_*(p), \lambda_*(p))$，使得当$\lambda_0 \in (-\lambda_*(p), \lambda_*(p))$时，第二相关函数的行为类似于GUE的情形，而当$\lambda_0$在该区间之外时，第二相关函数仍然因子化。对于$p \to \infty$，第二相关函数在$\lambda_0 = \pm 2$附近的行为同样存在一个阈值：当$p \ll n^{2/3}$时，第二相关函数因子化，而当$p \gg n^{2/3}$时，其行为类似于GUE。对于$p \to \infty$的任意速率，当$\lambda_0 \in (-2, 2)$时，任意偶数阶相关函数的渐近行为均与GUE一致。