两个区间的渐近收敛因子的估计

设 $E$ 为不包含零的两个实区间的并集。记 $L_n^r(E)$ 为满足 $P_n(0)=1$ 且关于上确界范数最小的次数小于或等于 $n$ 的多项式 $P_n$ 的上确界范数。众所周知，极限 $\kappa(E):=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{L_n^r(E)}$ 存在，其中 $\kappa(E)$ 被称为渐近收敛因子，因为它在求解大规模矩阵问题的某些迭代方法中起着至关重要的作用。因子 $\kappa(E)$ 可以借助 Jacobi 椭圆函数和 theta 函数来表示，但这种表示非常复杂。在本文中，我们利用 $E$ 端点的初等函数给出了 $\kappa(E)$ 精确的上下界。