调和 Ritz 向量与调和 Ritz 值的收敛性

我们关注利用一般的调和 Rayleigh-Ritz 投影方法计算大非 Hermitian 矩阵 $A$ 的单纯特征对 $(\lambda,{\bf x})$。给定搜索子空间 $\mathcal{K}$ 和目标点 $\tau$，我们聚焦于调和 Ritz 向量 $\widetilde{\bf x}$ 与调和 Ritz 值 $\widetilde{\lambda}$ 的收敛性。在 [{Z. Jia}, {\em The convergence of harmonic Ritz values, harmonic Ritz vectors, and refined harmonic Ritz vectors}, Math. Comput., 74 (2004), pp. 1441--1456.] 中，Jia 指出，对于调和 Ritz 向量与调和 Ritz 值的收敛，本质上需假设当 $\angle({\bf x},\mathcal{K})\rightarrow 0$ 时某 Rayleigh 商矩阵一致非奇异。然而，这一假设对一般矩阵 $A$ 无法在理论上保证，且即使 $\tau$ 不接近 $\lambda$，Rayleigh 商矩阵也可能奇异或接近奇异。本文中，我们废除了该限制，并推导了调和 Rayleigh-Ritz 投影方法收敛性的新界。我们证明，当 ${\bf x}$ 与 $\mathcal{K}$ 的距离趋于零且 $\tau$ 满足所谓的均匀分离条件时，调和 Ritz 值收敛；并且当 $\frac{1}{\lambda-\tau}$ 在关于 $(A-\tau I)\mathcal{K}$ 的 $(A-\tau I)\widetilde{\bf x}$ 的正交补中，与 $(A-\tau I)^{-1}$ 的其他 Ritz 值良好分离时，调和 Ritz 向量收敛。