Hermitian 矩阵受摄不变子空间上 Ritz 值变化的界

Rayleigh-Ritz 方法被广泛用于特征值近似。给定矩阵 $X$，其列构成子空间 $\X$ 的标准正交基，以及 Hermitian 矩阵 $A$，则 $X^HAX$ 的特征值称为 $A$ 相对于 $\X$ 的 Ritz 值。若子空间 $\X$ 是 $A$-不变的，则 Ritz 值为 $A$ 的若干特征值。若 $A$-不变子空间 $\X$ 受摄而得到另一子空间 $\Y$，则 $A$ 的 Ritz 值变化绝对值向量表示使用 $\Y$ 的绝对特征值近似误差。我们用 $\X$ 与 $\Y$ 之间的主角对该误差给出界。我们利用了 A. Knyazev 与 M. Argentati 近期论文 [DOI: 10.1137/060649070] 中的思想，其中 Ritz 值对于子空间 $\X$ 与 $\Y$ 之差的绝对值向量被一个常数乘以 $\X$ 与 $\Y$ 之间主角向量的正弦弱（次）优超，该常数为 $A$ 的谱跨度。该结果未假设任一子空间为 $A$-不变。文中猜想若其中一个试子空间是 $A$-不变的，则类似的弱优超界应只含正弦平方阶的项。此处我们证实该猜想。具体地，我们证明绝对特征值误差被一个常数乘以子空间 $\X$ 与 $\Y$ 之间主角向量的正弦平方弱优超，其中常数正比于 $A$ 的谱跨度。对许多实际情况我们表明比例因子仅为 1，且该界是紧的。对一般情况我们只能以稍大的常数证明该结果，我们认为该常数是人为的。