圆上高斯乘性混沌与贝塔系综的精确匹配

我们确定了源于数学物理不同背景的两个对象之间的等式：圆上的 Kahane 高斯乘性混沌（$GMC^\gamma$）与随机矩阵论中的圆贝塔系综 $(C\beta E)$。这是通过对相关随机正交多项式的分析得到的，使得该方法本质上具有谱性质。为使等式成立，耦合常数之间的简单关系为 $\gamma = \sqrt{\frac{2}{\beta}}$，我们仅在 $\gamma \leq 1$ 或等价地 $\beta \geq 2$ 时建立了该关系。这对应于 $GMC$ 的亚临界与临界相。作为副产品，我们肯定地回答了 Virag 提出的一个问题。我们还给出了关于圆上 $GMC^\gamma$ 总质量的 Fyodorov-Bouchaud 公式的另一种证明。该猜想最近由 R\'emy 利用刘维尔共形场论解决。我们还能更进一步描述所有矩的定律。此外，我们注意到“谱构造”有几个优点。例如，由于已有的谱理论，对所有 $\beta>0$ 其支撑的 Hausdorff 维数可被有效描述。值得注意的是，$GMC^\gamma$ 的临界参数对应于 $\beta=2$，即酉群的几何与表示论所在之处。