长期系数与全纯乘性混沌

我们研究从圆β系综中抽取的$N \times N$随机酉矩阵$U_{N}$的长期系数（secular coefficients），其定义为特征多项式$\det(1-zU_{N}^{*})$中${z^n}$的系数。当$\beta > 4$时，我们得到了一类新的极限分布，出现在$n$与$N$同时趋于无穷时。我们通过证明当$\beta=2$时中间系数随$N \to \infty$趋于零，解决了Diaconis与Gamburd的一个公开问题。我们展示了高斯乘性混沌（GMC）理论在这些问题及所获极限分布的显式描述中扮演的重要角色。我们将Diaconis与Gamburd关于长期系数矩的著名幻方公式推广到所有$\beta>0$，并分析了矩的渐近行为。我们对所有$\beta > 0$的长期系数的数量级给出了估计，且当$\beta \geq 2$时这些估计是尖锐的。这些见解促使我们引入一个与长期系数相关的新的随机对象，称之为全纯乘性混沌（HMC）。将HMC视为随机分布，我们证明了其在适当Sobolev空间中正则性的一条尖锐结果。我们的证明揭示并利用了与其他领域的若干新联系，包括随机置换、Tauber型定理与组合学。