强混沌系统中扩散的新普适特征

我们研究强混沌系统中扩散的一些新普适特征，特别是那些在混沌（不可分解、拓扑传递）分量上具有非常大李雅普诺夫指数的系统。我们通过将混沌分量在截面上离散化为大量 $N$ 个辛等大的单元（按等相对不变遍历测度的意义理解，归一化使混沌分量的总测度为 1）来实现这一点。通过迭代混沌轨道穿过截面的过程，其中 $j$ 计算迭代次数（离散时间），并假设即使在连续两次穿越之间也完全缺乏相关性（这可以由非常大的李雅普诺夫指数来合理化），我们展示了被占据单元的相对测度 $\rho(j)$ 以如下方式趋近于渐近值 1：$\rho(j) = 1 - (1-\frac{1}{N})^j$，使得在大 $N$ 极限 $N\to \infty$ 下，对于固定的 $j/N$，我们有指数律 $\rho(j) \approx 1 - \exp (-j/N)$。该解析结果在多种具体系统中得到了数值验证：对于平面台球（Robnik 1983, $\lambda=0.375$），对于三维台球（Prosen 1997, $a=-1/5, b=-12/5$），对于遍历逻辑斯蒂映射（tent map），对于标准映射（$k=400$），以及对于强磁场中的氢原子（$\epsilon=-0.05$），吻合度几乎完美（但在最后两个系统中，在非常小的时间尺度上存在一些长时间偏差），而对于 H\'enon-Heiles 系统（$E=1/6$）和标准映射（$k=3$）则观察到了偏差，尽管偏差不大（仅约 1%）。我们测试了随机数生成器（Press et al 1986），并确认其中一些几乎完美（ran0 和 ran3），而其中两个（ran1 和 ran2）表现出较大偏差。