关于小集合谱的结构

设 $G$ 为有限阿贝尔群，$A$ 为 $G$ 的子集。$A$ 的谱是其大傅里叶系数的集合。关于谱结构的已知组合结果（如 Chang 定理）在 $|A| = |G|^\alpha$ 且 $\alpha \le c$ 的情形下变得平凡，其中 $c \ge 1/2$ 为某个绝对常数。另一方面，存在一些统计结果，仅适用于显著比例的元素，但即使对于更小的集合也能给出非平凡界。Bourgain 的一个此类定理如下：对于谱中显著比例的点对 $\gamma_1,\gamma_2$，$\gamma_1+\gamma_2$ 属于具有更小阈值的同一集合的谱。本文表明，通过限制在一个大子集上，可以使该结果具有组合性。即，我们证明对于任意集合 $A$，存在一个大子集 $A'$，使得 $A'$ 的谱的和集具有有界大小。我们的结果适用于大小为 $|A| = |G|^{\alpha}$ 的集合（其中 $\alpha>0$ 为任意常数），甚至适用于某些次常数情形。