关于具有紧支撑势的离散薛定谔方程的束缚态

考虑在半直线格点 $n\in \{1,2,3,\dots\}$ 上带有 Dirichlet 边界条件的离散薛定谔算子。假设势属于类 $\mathcal A_b$，即它是实值的，当 $n>b$ 时为零（$b$ 为固定的正整数），且在 $n=b$ 处非零。我们给出证明表明相应的束缚态数目 $N$ 必须满足不等式 $0\le N\le b$。结果表明，对于集合 $\{0,1,2,\dots,b\}$ 中每个固定的非负整数 $k$，类 $\mathcal A_b$ 中存在无穷多个势，使得相应的薛定谔算子恰有 $k$ 个束缚态。我们给出了一些辅助结果，将束缚态数目与相应薛定谔算子关联的实数共振数目联系起来。所提出的理论用一些显式例子加以说明。