关于模阿贝尔曲面的Birch-Swinnerton-Dyer猜想

设 $A$ 是 $Q$ 上的模阿贝尔曲面，其几何自同态环平凡，或是某个虚二次域上模椭圆曲线（该椭圆曲线为模曲线且不是 $Q$-曲线）的标量限制。在前一种情形，假设存在奇Dirichlet特征 $\chi$ 使得 $L(A,\chi,1)\neq 0$。我们证明如下蕴含关系：若 $L(A, 1) \ne 0$，且 $GSp_4$ 的 $p$-进特征簇在对应于 $A$ 的点处光滑（并满足某些辅助技术假设），则 $A(Q)$ 有限（正如Birch--Swinnerton-Dyer猜想所预言），且Tate--Shafarevich群的 $p$-部分也有限。我们还证明了 $A$ 的分圆Iwasawa主猜想的一个包含关系。此外，我们对 $GSp_4$ 的上同调自守表示证明了类似结果，去除了我们早期工作[2003.05960]中的诸多限制假设；对于上同调表示，我们无需假设特征簇的光滑性，因为在此情形下这是自动成立的。证明中的主要成分是我们在与Skinner的早期工作中构造的属2 Siegel模形式的自旋表示所附着的Euler系统。