正特征函数域上阿贝尔簇的μ不变量

设$A$为特征$p$的全局函数域$K$上的阿贝尔簇。我们研究在$K$的非分歧$\mathbb{Z}_p$-扩张上，$A$的Iwasawa理论中出现的$\mu$-不变量。Ulmer推测该不变量等于他所称的$A$的Tate-Shafarevich群的维数，并且它确实是某个典范定义的群概形的维数。我们的第一个结果是验证了他的推测。他还给出了Tate-Shafarevich群（现为$\mu$-不变量）的维数公式，用其他量表示，包括$A$的Faltings高度以及$A/K$的Hasse-Weil $L$-函数分子的Frobenius斜率，该公式假设了Birch-Swinnerton-Dyer猜想公式。我们的下一个结果是在无附加条件的情况下，对Jacobian簇和半稳定阿贝尔簇证明了该$\mu$-不变量公式。最后，我们证明了具有一个截面且Euler示性数固定足够大的极小椭圆曲面同构类模空间中“$\mu=0$”轨迹是一个稠密开子集。