整体函数域上阿贝尔簇的非交换岩泽理论

设 $A$ 是定义在整体函数域 $F$ 上的阿贝尔簇，$p$ 是与 $F$ 的特征不同的素数。设 $F_\infty$ 是 $F$ 的一个 $p$-adic Lie 扩张，且包含 $F$ 的分圆 $\mathbb{Z}_p$-扩张 $F^{\mathrm{cyc}}$。本文研究 $A$ 在 $F_\infty$ 上的 $p$-主 Selmer 群 $\mathrm{Sel}(A/F_\infty)$ 的结构。我们证明了 $A/F_\infty$ 的 $\mathfrak{M}_H(G)$-猜想。进一步，我们证明了 Selmer 群 $\mathrm{Sel}(A/F^\mathrm{cyc})$ 的 Pontryagin 对偶的 $\mu$-不变量以及 Selmer 群 $\mathrm{Sel}(A/F_\infty)$ 的 Pontryagin 对偶的广义 $\mu$-不变量均为零，从而证明了 $A/F$ 的 Mazur 猜想。然后，我们将特征元在 Artin 表示处取值的消失阶与 $A$ 在基域 $F$ 上的相应扭曲的 Selmer 群的余秩联系起来。假设 Tate-Shafarevich 群有限，我们建立该余秩等于 $A/F$ 的 $L$-函数在 $s=1$ 处的消失阶。最后，我们将 Sechi 的一个定理（最初针对无复乘的椭圆曲线证明）推广到整体函数域上的阿贝尔簇。这是通过调整 Zerbes 针对数域上椭圆曲线引入的广义欧拉示性数概念来实现的。这个新不变量使我们能够通过 Akashi 级数将 $\mathrm{Sel}(A/F_\infty)$ 的广义欧拉示性数与 $\mathrm{Sel}(A/F^{\mathrm{cyc}})$ 的欧拉示性数联系起来。