关于 Eigen 进化矩阵主导特征值的行为

我们研究了 Eigen 进化矩阵的主导特征值 $\overline{w}(q)$ 的一般性质，该特征值依赖于忠实复制的概率 $q$。这是一个线性代数问题，在理论生物学中有多种应用，包括生命起源、癌症进展进化和病毒进化等不同领域。我们给出了 $q=0,0.5,1$ 时 $\overline{w}(q),\overline{w}'(q),\overline{w}''(q)$ 的精确表达式，并证明了始终存在的 $\overline{w}(q)$ 绝对最小值属于区间 $[0,0.5]$。针对单峰适应度景观的特例，我们还找到了 $\overline{w}(q)$ 的下界和上界，用于估计临界突变率；超过该突变率后，种群中个体类型的分布将变得几乎均匀。该估计被用作提出另一个适用于任何适应度景观的估计的起点，并通过数值计算进行了验证。最后的估计强调了临界突变率对序列长度的反比依赖关系并非普遍成立的事实。因此，应用于生物系统的误差阈值讨论必须考虑到这一事实。