近似具有异质节点偏置的网络修正邻接矩阵的最大特征值

受其与网络系统多种动力学行为相关性的启发，人们考虑了网络邻接矩阵 $A$ 的最大特征值 $\lambda_Q$，并针对不同类型的网络发展了 $\lambda_Q$ 的平均场型近似。这里 $A$ 定义为：若存在从节点 $j$ 到节点 $i$ 的有向网络链接，则 $A_{ij} = 1$（否则 $A_{ij} = 0$）。然而，在至少两个涉及具有异质节点属性的网络的最新问题中（有向网络上的渗流和基因网络布尔模型的稳定性），出现了一个类似但不同的特征值问题，即寻找矩阵 $Q$ 的最大特征值 $\lambda_Q$，其中 $Q_{ij} = q_i A_{ij}$，且“偏置” $q_i$ 在每个节点 $i$ 处可能不同。（在前面提到的渗流和基因网络背景下，$q_i$ 是一个概率，因此取值范围为 $0 \le q_i \le 1$。）本文的目的是将先前对 $A$ 的最大特征值 $\lambda_A$ 的考虑扩展到 $\lambda_Q$，发展 $\lambda_Q$ 的合适解析近似，并通过数值实验检验这些近似。具体而言，考虑的三个问题是：(i) $q_i$ 值与节点 $i$ 的入度和出度之间的相关性（或反相关性）的影响；(ii) 网络链接两端节点属性之间的相关性（“同配性”）的影响；以及 (iii) 社区结构的影响，允许不同社区关联不同 $q$ 值的情况。