关于 Baker-Campbell-Hausdorff 定理：非收敛性与延拓问题

我们研究了与著名的 Baker-Campbell-Hausdorff 定理相关的一些课题：非收敛性结果与延拓问题。给定一个具有单位元 $I$ 的 Banach 代数 $\mathcal{A}$，以及 $X,Y\in \mathcal{A}$，我们研究了不同问题之间的关系：BCH 级数 $\sum_n Z_n(X,Y)$ 的收敛性、$e^Xe^Y$ 对数的存在性，以及 Mercator 型级数 $\sum_n {(-1)^{n+1}}(e^Xe^Y-I)^n/n$ 的收敛性，该级数提供了 $e^Xe^Y$ 的一个特定对数。我们确定了一般性结果，并通过适当的矩阵反例表明可能出现各种病态现象，其中我们提供了 BCH 级数的一个非收敛结果。该问题与物理学中感兴趣的关于 BCH 级数闭公式的近期结果有关：虽然 BCH 级数的和存在若干非收敛问题，但当其不收敛时，这些闭公式可以为 BCH 级数提供延拓。另一方面，我们通过适当的反例表明，即使 BCH 级数本身收敛，其解析延拓也可能是奇异的。