简化 Baker-Campbell-Hausdorff 级数的 Reinsch 算法

Baker-Campbell-Hausdorff 级数用于计算量 $Z(X,Y)=\ln\left( e^X e^Y \right) = \sum_{n=1}^\infty z_n(X,Y)$，其中 $X$ 和 $Y$ 不一定对易，计算结果表示为 $n$ 次齐次多项式 $z_n(X,Y)$ 的形式。（这本质上等同于计算所谓的 Goldberg 系数。）Baker-Campbell-Hausdorff 级数是数学物理、量子物理及许多其他领域中广泛适用的通用工具。用于截断级数的 Reinsch 算法允许通过使用 $(N+1)\times(N+1)$ 矩阵计算到某个固定阶数 $N$。我们展示了如何进一步简化 Reinsch 算法，使得实现（原则上）变得极其简单。这有助于更深入地理解 Goldberg 系数及其性质。例如，我们建立了非零 Goldberg 系数数量的严格界限（以及一些等式）。不幸的是，我们将看到多项式 $z_n(X,Y)$ 中的项数通常随次数 $n$ 非常迅速地增长（实际上是指数增长）。我们还给出了关于对称积 $S(X,Y)=\ln\left( e^{X/2} e^Y e^{X/2} \right) = \sum_{n=1}^\infty s_n(X,Y)$ 的一些密切相关结果。这些主题的变体很简单。例如，人们可以同样容易地考虑级数 $L(X,Y)=\ln\left( e^{X} e^Y e^{-X} e^{-Y}\right) = \sum_{n=1}^\infty \ell_n(X,Y)$。此类级数在考虑沿闭合曲线的平行移动时具有兴趣。我们还研究了其他几个相关级数。