Baker-Campbell-Hausdorff 公式的特例闭式

Baker-Campbell-Hausdorff 公式是关于量 $Z(X,Y)=\ln( e^X e^Y )$ 的一个一般结果，其中 $X$ 与 $Y$ 未必对易。对于 $X$ 与 $Y$ 之间完全一般的交换关系（自由李代数），一般结果有些笨重。然而在特定的物理应用中，交换子 $[X,Y]$，虽然非零，却可能相对简单，这有时会导致显式的闭式结果。我们考虑特殊情形 $[X,Y] = u X + vY + cI$，并证明在此情形下一般结果化简为 $$Z(X,Y)=\ln( e^X e^Y ) = X+Y+ f(u,v) \; [X,Y].$$ 此外我们显式计算出对称函数 $f(u,v)=f(v,u)$，证明 $$f(u,v) = {(u-v)e^{u+v}-(ue^u-ve^v)\over u v (e^u - e^v)},$$ 并将此与先前已知结果相联系。例如，该结果包含了由海森堡交换子 $[P,Q]=-i\hbar I$ 或产生-湮灭交换子 $[a,a^\dagger]=I$ 所得的结果，但远比它们更一般。