Zassenhaus 公式的闭式表达

Zassenhaus 公式在理论物理或数学中有诸多应用，从流体动力学到微分几何。代数元素的不可交换性意味着算子之和的指数不能表示为算子指数的乘积。和的指数可分解为指数乘积再乘以一个补充项，该补充项通常取无穷指数乘积的形式。这种过程常被称为“解缠结”。然而，对于某些特殊对易子，可找到闭式表达。本工作中，我们针对算子 $\hat{X}$ 与 $\hat{Y}$ 的对易子满足关系 $[\hat{X},\hat{Y}]=u\hat{X}+v\hat{Y}+c\mathcal{I}$ 的情形，提出了 Zassenhaus 公式的闭式表达。该表达式可归结为三个等价版本，即左侧、居中与右侧公式：\begin{equation*} e^{\hat{X}+\hat{Y}}=e^{\hat{X}}e^{\hat{Y}}e^{g_{r}(u,v)[\hat{X},\hat{Y}]}=e^{\hat{X}}e^{g_{c}(u,v)[\hat{X},\hat{Y}]}e^{\hat{Y}}=e^{g_{\ell}(u,v)[\hat{X},\hat{Y}]}e^{\hat{X}}e^{\hat{Y}}, \end{equation*} 其各自参数为，\begin{eqnarray*} g_{r}(u,v)&=&g_{c}(v,u)e^{u}=g_{\ell}(v,u)=\frac{u\left(e^{u-v}-e^{u}\right)+v\left(e^{u}-1\right)}{vu(u-v)} \end{eqnarray*} 当 $u\ne v$ 时，以及 \begin{eqnarray*} g_{r}(u,u)=\frac{u+1-e^u}{u^2}\;\;\;\;\mathrm{with}\;\;\;\; g_r(0,0)=-1/2. \end{eqnarray*} 另有特殊情形 \begin{eqnarray*} g_{r}(0,v)= -\frac{e^{-v}-1+v}{v^{2}}, \quad & g_{r}(u,0)=\frac{e^{u}(1-u)-1}{u^{2}}. \end{eqnarray*}