关于某些仿射半群代数的代数不变量

设 $a$ 和 $d$ 是 $\mathbb{N}^2$ 中在有理数域上线性无关的两个向量。对于正整数 $k \geq 2$，考虑序列 $a, a+d, \ldots, a+kd$，使得仿射半群 $S_{a,d,k} = \langle a, a+d, \ldots, a+kd \rangle$ 由该序列极小生成。我们研究了与该半群相关的仿射半群代数 $k[S_{a,d,k}]$ 的性质。我们证明了 $k[S_{a,d,k}]$ 总是 Cohen-Macaulay 的，并且它是 Gorenstein 的当且仅当 $k=2$。对于 $k=2,3,4$，我们显式计算了 $k[S_{a,d,k}]$ 的合冲、极小分次自由解和 Hilbert 级数。我们还给出了 $k[S_{a,d,k}]$ 的定义理想的一个极小生成集和一个 Gr"{o}bner 基。因此，我们证明了 $k[S_{a,d,k}]$ 是 Koszul 的。最后，我们证明了对任意 $a,d,k$，$k[S_{a,d,k}]$ 的 Castelnuovo-Mumford 正则度均为 $1$。