交替方向 n 边形梯阶 digraph 的邻接谱

对于整数 $n \ge 3$ 和 $r \ge 1$，设 $\Gamma_{n,r}$ 为通过沿梯阶模式沿单个边缘拼接 r 个有向 n 环得到的交替方向 digraph，设 $A_{n,r}$ 为其邻接矩阵。对 $A_{n,r}$ 进行规范性 n 层分区可将其划分为 n 循环块形式，并隔离出循环乘积核心 $K_{n,r}$，从而 $A_{n,r}$ 的非零谱可通过取 n 次根来获得 $K_{n,r}$ 的谱。我们证明 $K_{n,r}$ 是全非负且不可约的，因此其非零特征值是实数、正数且简单。由此可得 $A_{n,r}$ 的所有非零特征值都是简单的，并以 $\exp(2\pi i/n)$-轨的形式出现，形成复平面上规则 n 边形的并。一种一步 Schur 补得到 $r$ 关于特征多项式 $\Phi_{n,r} \in \mathbb{Z}[x]$ 的三项递推关系。这决定了特征值 0 的重数以及非零特征值的数量，并导致分母为三次多项式的生成函数。应用 Tran 类型约束定理可得到均匀界限 $\rho(A_{n,r}) \le (27/4)^{1/n}$ 和锐利极限 $\displaystyle\lim_{r \to \infty} \rho(A_{n,r}) = (27/4)^{1/n}$ 为每个固定的 n。最后，专门在 $x=1$ 处关联 $\Phi_{n,r}(1)$ 与 Padovan 棱螺旋数，并给出非零特征值的完全有理分类。