稀疏随机图邻接矩阵可逆性的尖锐相变

我们考虑三种不同的稀疏随机图模型：无向和有向 Erdős-Rényi 图，以及左右顶点数相等的随机二部图。对于此类图，我们证明若边连接概率 $p \in (0,1)$ 满足 $n p \ge \log n + k(n)$，其中 $k(n) \to \infty$（当 $n \to \infty$），则邻接矩阵可逆的概率趋于一（此处 $n$ 在前两种情形为顶点数，在后一种情形为左右顶点数）。若 $np \le \log n -k(n)$，则当 $n \to \infty$ 时这些矩阵可逆的概率趋于零。在中间区域，当 $np=\log n + k(n)$ 且 $k(n) \in \mathbb{R}$ 为有界序列时，邻接矩阵存在全零行或全零列的事件 $\Omega_0$ 及其补事件均具有非零概率。对于此类 $p$ 的选择，我们的结果表明在条件事件 $\Omega_0^c$ 下矩阵同样以趋于一的概率可逆。这表明此类矩阵不可逆的主要原因在于存在全零行或全零列。这些矩阵可逆概率的界是其最小奇异值定量下界的结果。将其与这些矩阵中心化版本的最大奇异值上界结合，我们证明在不存在全零行或列的事件上，（修正）条件数以很大概率满足 $O(n^{1+o(1)})$。这与 von Neumann 关于随机矩阵条件数的预测在因子 $n^{o(1)}$ 范围内相符，对 $p$ 的整个取值范围均成立。