亚线性带宽且离散条目非厄米特和对称随机带矩阵的可逆性

随机矩阵理论中的一个著名结果，由 Kahn、Koml\'os 和 Szemer\'edi 在 1995 年证明，表明具有独立同分布的均匀 $\{\pm 1\}$ 条目的方块随机矩阵以概率 $1-\exp(-\Omega(n))$ 是可逆的。作为该模型的自然推广，我们考虑带宽像 $n^\alpha$ 这样按比例扩大的独立条目随机带矩阵的可逆性。我们考虑的带矩阵模型足够通用，涵盖了块带矩阵和周期带矩阵等现有模型，允许在方差轮廓方面具有很大的灵活性。由于带宽是维度的亚线性，估计这些矩阵的可逆性和最小奇异值的问题长期以来都是开放问题。我们通过表明当 $\alpha>\frac{2}{3}$ 且随机变量是独立同分布的，均匀分布在 $\{\pm 1+c\}$ 上（其中 $c$ 为任意固定整数），则该带矩阵以概率 $1-\exp(-\Omega(n^{\alpha/2}))$ 是可逆的。此前，对于这些带矩阵模型，甚至可逆性为 $1-o(1)$ 都未知，除了块带矩阵的非常特殊情况之外。我们随后将可逆性结果推广到具有整数条目的对称随机带矩阵，证明只要 $\alpha>\frac{2}{3}$，则相同的非奇异概率估计成立。