随机地图的镶嵌与$t_g$-递推

我们研究以两个均匀随机点为中心的亏格$g\geq 0$布朗曲面的Vorono\"i镶嵌中两个单元的质量。利用经典双射和固定亏格地图的渐近估计，我们将这些随机变量的二阶矩与满足单矩阵模型双缩放极限的Painlev\'e-I方程联系起来，或等价地联系到驱动亏格$g\geq0$地图渐近数量的常数$t_g$所满足的“$t_g$-递推”。这提出了给出该二阶矩的独立概率或组合推导的问题，进而将导致$t_g$-递推的新证明。更一般地，我们猜想对任意$g\geq 0$和$k\geq 2$，由$k$个均匀点对亏格-$g$布朗曲面进行Vorono\"i镶嵌所得单元的质量服从Dirichlet$(1,1,\dots,1)$分布。