关于图嵌入的局部亏格分布

$2$-胞腔图在闭曲面上的嵌入已被广泛研究。众所周知，给定图 $G$ 在可定向闭曲面上的（$2$-胞腔）嵌入等价于循环排序与 $G$ 每个顶点关联的边。在本文中，我们研究如下问题：给定图 $G$ 的亏格 $g$ 嵌入 $\epsilon$ 以及 $G$ 的一个顶点，重新嵌入该顶点的多少种不同方式使得结果嵌入 $\epsilon'$ 的亏格为 $g+\Delta g$？我们给出计算此量以及通过重新嵌入达到的局部极小亏格的公式。在此过程中我们得到多种结果。特别地，若存在 $G$ 的单面嵌入，则 $G$ 的随机嵌入为单面的概率至少为 $\prod_{\nu\in V(G)}\frac{2}{deg(\nu)+2}$，其中 $deg(\nu)$ 表示 $\nu$ 的顶点度。此外，我们得到了给定 $G$ 的嵌入为极小亏格嵌入的一个易于检验的必要条件。