图的随机嵌入：大多数图的面数的期望是对数级的

连通图 $G$ 在某个可定向曲面上的随机 2-胞腔嵌入，是通过在每个顶点周围选择一个随机局部旋转得到的。在此设定下，相应 2-胞腔嵌入的面数或亏格成为一个随机变量。$n$ 个环的花束以及连接两个顶点的 $n$ 条平行边这两类特殊图的随机嵌入已被广泛研究且得到充分理解。然而，对更一般的图所知甚少。本文的结果解释了为何蒙特卡洛方法无法用于近似图的最小亏格。Stahl 在其突破性工作 [Permutation-partition pairs, JCTB 1991] 中发展了“随机拓扑图论”的基础。他的多数结果至今未被超越。在我们的工作中，我们分析图 $G$ 的随机嵌入（等价地，平均亏格）的面数期望。最近刚证明对任意图 $G$，面数的期望至多为线性。我们证明实际的期望面数 $F(G)$ 几乎总是小得多。特别地，我们证明：1) $\frac{1}{2}\ln n - 2 < \mathbb{E}[F(K_n)] \le 3.65 \ln n +o(1)$。2) 对随机图 $G(n,p)$（$p=p(n)$），有 $\mathbb{E}[F(G(n,p))] \le \ln^2 n+\frac{1}{p}$。3) 对仅含最大度至多为 $\Delta$ 的图的随机模型 $B(n,\Delta)$，我们通过证明期望面数为 $\Theta(\log n)$ 得到更强的界。