弦图子图交表示的复杂性及线性时间弦图生成

已知任意$n$个顶点的弦图可表示为树上$n$个节点的$n$棵子图的交。近期文献[2]利用这一事实，通过生成树上$n$个节点的$n$棵子树来生成$n$个顶点的随机弦图。由此可知，假设树由节点集给出，此类算法的空间（从而时间）复杂度至少为所生成子树大小之和。[2]中错误地声称该复杂度关于所生成弦图的边数$m$为线性。该错误在[3]中被纠正，其中空间复杂度被证明为$\Omega(m n^{1/4})$。该算法的精确复杂度作为开放问题遗留。本文中，我们证明树上$n$个节点的$n$棵子树的大小之和为$\Theta(m\sqrt{n})$。我们还证明可局限于收缩极小子树交表示，因其足以生成所有弦图。此外，此类表示中子树大小之和至多为$2m+n$。我们利用该结果推导出首个线性时间随机弦图生成器。基于收缩极小表示，我们还推导出弦图与其连通性相关的结构性质。除这些理论结果外，我们进行了实验以研究所生成弦图的质量，并与文献中结果比较。我们的实验研究表明，所生成图无受限结构，且最大团的大小在范围内分布较均匀。此外，我们的算法易于实现，在笔记本电脑上以不到一秒的时间生成10000个顶点和$4 . 10^7$条边的图。