任意图随机嵌入中的期望面数至多为线性

给定图$G$的随机2-胞腔嵌入是通过围绕每个顶点选择随机局部旋转得到的。我们分析此类嵌入的期望面数，这等价于研究其平均亏格。1991年，Stahl证明了任意阶为$n$的图在随机嵌入中的期望面数至多为$n\log(n)$。尽管存在许多期望面数为$\Theta(n)$的图族，但已知尚无期望面数超线性的图族。这引出了存在一个线性上界的猜想。在本注记中，我们通过证明对于任意$n$个顶点的多重图，随机2-胞腔嵌入中的期望面数至多为$n(1+H_m)$（其中$m$为最大边重数，$H_m$表示第$m$个调和数）证实了该猜想。该上界在常数因子范围内是最优的。