图嵌入局部拓扑结构的变化

图在闭曲面上的$2$-胞腔嵌入已被广泛研究。众所周知，给定图$G$在可定向闭曲面上的（$2$-胞腔）嵌入等价于循环排序与$G$每个顶点关联的边。本文研究以下问题：给定图$G$的亏格$g$嵌入$\mathbb{E}$，若我们随机重排一个顶点周围的边，即重新嵌入，所得嵌入$\mathbb{E}'$具有亏格$g+\Delta g$的概率为何？我们给出计算该概率的公式。同时，也得到其他一些已知与未知结果。例如，我们证明在单面嵌入中，对任意度数为$deg(v)$的顶点$v$重新嵌入，保持亏格的概率至少为$\frac{2}{deg(v)+2}$；并且我们得到了图$G$的给定嵌入为最小亏格嵌入的必要条件。