有限随机图序中柱点期望数量的计算

随机图序是通过在顶点集上独立地添加关系（每个关系以概率 $p$ 出现）并添加关系以满足传递性要求而得到的偏序。\textit{柱点}是偏序集中与所有其他元素都相关的元素。Alon 等人 \cite{Alon} 证明了 $\mathbb{Z}$ 上随机图序中元素 $\{1,2,...,n\}$ 中柱点的平均数量的结果。我们通过给出 $\{1,2,...,n\}$ 上随机图序中柱点平均数量的表达式来改进这一结果，从而量化与元素 $\mathbb{Z}\backslash\{1,2,...,n\}$ 相关的边界效应。具体地，我们证明了大小为 $n$ 的随机图序中柱点的期望数量渐近地关于 $n$ 线性增长，且具有正的 $y$ 截距。与该近似相关的误差随 $n$ 单调且快速地减小，从而允许对任意 $n$ 和 $p$ 精确计算柱点的期望数量。我们还作为引理证明了欧拉函数与其部分乘积之间的差值的一个界，该引理本身可能具有独立的研究价值。