淬火 Voronoi 渗流中的收敛速率

在单位正方形 $S$ 中均匀随机放置 $n$ 个点，并考虑对应于点集 $\eta$ 的 $S$ 的 Voronoi 镶嵌。为镶嵌中的每个单元抛掷一枚均匀硬币以确定将该单元染成红色还是蓝色。令 $H_S$ 表示在所得着色中存在 $S$ 的红色水平跨越的事件。1999 年，Benjamini、Kalai 和 Schramm 猜想，已知镶嵌但不知着色，渐近地不提供关于事件 $H_S$ 是否发生的任何信息。更确切地说，由于对称性 $H_S$ 发生的概率为 $1/2$，他们猜想条件概率 $\mathbb{P}(H_S|\eta)$ 当 $n\to\infty$ 时依概率收敛到 1/2。该猜想于 2016 年由 Ahlberg、Griffiths、Morris 和 Tassion 解决。在本文中，我们导出了 $\mathbb{P}(H_S|\eta)$ 趋近其均值的更强界。作为推论，我们将依概率收敛加强为几乎必然收敛。