传统 Pólya urn 的收敛速率

考虑一个具有若干种颜色球的 Pólya urn，其中球被依次抽取，且每个被抽出的球立即连同固定数量的同色球一起放回。众所周知，不同颜色球的比例依分布收敛到 Dirichlet 分布。我们证明了对于任意 $p\in[1,\infty]$，在极小 $L_p$ 度量下收敛速率为 $\Theta(1/n)$，推广了 Goldstein 与 Reinert 的结果；我们进一步证明了 Lévy 距离下具有相同速率，而 Kolmogorov 距离下的速率依赖于参数，即依赖于 urn 的初始组成。此处所用方法不同于 Goldstein 与 Reinert 的方法，而是基于已知精确分布的直接计算。