关于可压缩 Hookean 弹性流体的时间衰减——在弹性系数较大的情况下

最近，Jiang--Jiang 在空间周期域（记作 $\mathbb{T}^3$）中证明了当弹性系数大于初始速度扰动时，可压缩弹性流体存在唯一强解。为此目的动机，我们在拉格朗日坐标下重访可压缩弹性流体的 Cauchy 问题。采用带时间权重的能量方法及拉格朗日坐标下初始密度的额外渐近稳定性条件，我们将 Jiang--Jiang 的结果从 $\mathbb{T}^3$ 中的指数衰减推广至整个空间 $\mathbb{R}^3$ 中的代数衰减。凭借能量方法所建立的代数衰减，我们可进一步利用谱分析来提高解的时间衰减率。具体而言，我们发现密度扰动及变形扰动的 k 阶空间导数在 $L^2(\mathbb{R}^3)$ 中的收敛率为 $(1+t)^{-\frac{3}{4}-\frac{k+1}{2}}$，这快于 Hu--Wu 对 $k=0$ 和 $k=1$ 所得的衰减率 $(1 +t)^{-\frac{3}{4}-\frac{k}{2}}$。值得注意的是，密度扰动的衰减率 $(1+t)^{-\frac{3}{4}-\frac{k}{2}}$ 已被证明是可压缩 Navier--Stokes 方程中最优的（A.~Matsumura, T.~Nishida, Proc. Jpn. Acad. Ser-A. 55, 1979）。因此，我们更快的时间衰减率表明，弹性系数加速了可压缩弹性流体扰动后密度扰动的衰减。