短区间内 Hecke 级数之和

我们证明对于 $K^\epsilon \le G \le K$，有 \sum_{K-G}\le \kappa_j \le K+G}\alpha_j H_j^3(1/2) \ll_\epsilon GK^{1+\epsilon}，其中 $\alpha_j = |\rho_j(1)|^2(\cosh \pi\kappa_j)^{-1}$，且 $\rho_j(1)$ 为对应于特征值 $\lambda_j = \kappa_j^2 + 1/4$ 的 Maass 波形的第一个 Fourier 系数，Hecke 级数 $H_j(s)$ 即依附于该特征值。此结果给出了新界 $H_j(1/2) \ll_\epsilon \kappa_j^{1/3+\epsilon}$。