关于周期非齐次线性微分方程的次正规解、特殊函数与特殊多项式

本文对Gundersen和Steinbart于1994年首次研究的某些非齐次二阶周期线性微分方程的次正规解给出了新的完整描述。我们建立了一个先前未知的关系，即这些微分方程的通解（无论是否为次正规解）可以用经典特殊函数显式求解，具体包括贝塞尔函数、洛梅尔函数和斯特鲁夫函数，这些函数因其在物理学中的广泛应用而具有重要意义。特别地，我们证明了次正规解可以用退化洛梅尔函数 $S_{\mu, \nu}(\zeta)$ 以及与贝塞尔函数相关的若干经典特殊多项式显式表示。实际上，我们解决了一个特殊函数中的等价问题：洛梅尔函数 $S_{\mu, \nu}(\zeta)$ 的每个分支退化当且仅当 $S_{\mu, \nu}({\rm e}^z)$ 在 $\mathbf{C}$ 中具有有限增长级。我们通过证明这些函数的新性质与恒等式实现了这一目标。作为推论，得到了一系列半经典量子化类型的结果。因此，我们的结果不仅恢复并推广了Gundersen和Steinbart的结论 \cite{GS94}，而且所发现的洛梅尔函数的新恒等式与性质在更广泛的背景下具有独立的研究价值。