关于谱极小划分 II：矩形情形

延续\cite{HHOT}的工作，我们讨论矩形$]-\frac a2,\frac a2[\times ] -\frac b2,\frac b2[$（其中$0< a\leq b$）的谱极小3-划分问题。在\cite{HHOT}中已观察到，当$0<\frac ab < \sqrt{\frac 38}$时，极小3-划分由第三本征函数的三个节点域给出，对应于三个矩形$]-\frac a2,\frac a2[\times ] -\frac b2,-\frac b6[$、$]-\frac a2,\frac a2[\times ] -\frac b6,\frac b6[$和$]-\frac a2,\frac a2[\times ] \frac b6, \frac b2[$。我们将描述当$\frac ab$增加时，在值$\sqrt{\frac 38}$处，这些节点极小3-划分与非节点极小3-划分之间可能的过渡机制，并讨论当$\sqrt{\frac 38}<\frac ab \leq 1$时，给出极小3-划分的对称候选者的存在性。数值分析很自然地引出了关于等谱性的有趣问题，这些问题通过引入Aharonov-Bohm哈密顿量或考虑穿孔矩形双覆盖来解决。