关于由 eta 商生成的模形式空间

层级为 $N$ 的 eta 商是指形如 $f(z) = \prod_{\delta | N} \eta(\delta z)^{r_{\delta}}$ 的模形式。我们研究了确定层级 $N$ 的问题，使得 $\Gamma_{0}(N)$ 的全纯模形式分级环由层级为 $N$ 的（全纯或分别为弱全纯）eta 商生成。此外，我们证明了如果 $f(z)$ 是一个在上半平面非零且在无穷远处具有整数傅里叶系数的全纯模形式，那么 $f(z)$ 是某个 eta 商的整数倍。最后，我们利用这些结果确定了 $J_{0}(2^{k})(\mathbb{Q})$ 的尖点子群的结构。