η 商与 Rademacher 和

$\Gamma_0(6)$ 上的 η 商给出了 2、3、4 和 6 圈日出积分的求值。在 2 和 3 圈时，它们提供了非齐次微分方程的模参数化，其解可通过在 nome $q$ 中展开轻易得到。置换尖点的 Atkin-Lehner 变换确保所有外动量下的快速收敛。在 4 和 6 圈时，壳上积分是 η 商的 Eichler 积分所给出的权 4 和权 6 模形式的周期。弱全纯 η 商决定了拟周期。给出了作为 $\Gamma_0(6)$ 的 Hauptmodul 的 η 商的傅里叶系数的 Rademacher 和公式，并发现了其对所有亏格 0 的能级即 $N = 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 16, 18, 25$ 的推广。在 $N = 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 24, 27, 32, 36, 49,$ 处存在亏格 1 的椭圆障碍。我们克服了这些障碍，在数千种情形下找到了 η 商傅里叶系数的显式公式。我们展示了如何处理亏格 2 的能级 $N=22, 23, 26, 28, 29, 31, 37, 50$，以及亏格 3 的能级 $N=30,33,34,35,39,40,41,43,45,48,64$。我们还求解了亏格 $4,5,6,7,8,13$ 的实例。