极大 $L_p$-$L_q$ 正则类下Navier-Stokes方程的一类自由边界问题

本文研究无表面张力的Navier-Stokes方程在时间为 $L_p$、空间为 $L_q$ 设定下（其中 $2 < p < \infty$ 且 $N < q < \infty$）的自由边界问题。在弱Dirichlet-Neumann问题唯一可解的条件下，在 $N$ 维欧几里得空间 ${\Bbb R}^N$ ($N \geq 2$) 中的一致 $W^{2-1/q}_q$ 区域内证明了局部时间存在定理。此外，在额外假设 $\Omega$ 有界的条件下，对小的初始数据证明了全局时间存在定理。Solonnikov \cite{Sol1} 已利用局部时间解的延拓论证证明了这一点，该局部解在能量层级上是指数稳定的，且假设初始数据正交于刚体运动。我们也使用了延拓论证以及对初始数据的相同正交性条件。但是，我们关于局部时间解延拓的论证基于线性化问题的某个衰减定理，这是与 \cite{Sol1} 不同的点。