乘积空间 $\mathbb{T}^m\times \mathbb{R}^n$ 上 Schrödinger 方程的光滑化估计

令 $\Delta_{\mathbb{T}^m\times \mathbb{R}^n}$ 表示乘积空间 $\mathbb{T}^m\times \mathbb{R}^n$ 上的 Laplace-Beltrami 算子。在本文中，我们证明 $$\left\|e^{it\Delta_{\mathbb{T}^m\times \mathbb{R}^n}}f\right\|_{L^p(\mathbb{T}^m\times \mathbb{R}^n\times [0,1])} \leq C \|f\|_{W^{\alpha,p}(\mathbb{T}^m\times\mathbb{R}^n)}$$ 在 $p\geq 2(m+n+2)/(m+n)$ 且 $\alpha> (m+2n)(1/2-1/p)-2/p$ 时成立。此外，我们应用 $\ell^2$-解耦不等式在调制空间 $M_{p,q}^\alpha(\mathbb{T}^m\times\mathbb{R}^n)$ 中为 Schrödinger 算子 $e^{it\Delta_{\mathbb{T}^m\times\mathbb{R}^n}}$ 建立局部 $L^p$-光滑化估计：$$\|e^{it\Delta_{\mathbb{T}^m\times\mathbb{R}^n}}f\|_{L^p(\mathbb{T}^m\times\mathbb{R}^n\times [0,1])}\leq C \|f\|_{M_{p,q}^\alpha(\mathbb{T}^m\times\mathbb{R}^n)}$$ 对一定范围内的 $\alpha$ 和 $p, q$ 成立。在 $L^p$-Sobolev 空间和调制空间中的光滑化估计，在 $p$ 和 $q$ 的特定范围内，直至端点正则性都是尖锐的。