关于 Heisenberg 群中非负内核奇异积分

本文我们重新审视 Heisenberg 第一个群 $\He$ 中的非负内核，特别是进一步研究该家族 $$K_\alpha(x,y,z)= \frac{|z|^{\alpha/2}}{\|(x,y,z)\|_{H}^{\alpha+1}}, \quad \alpha>0,$$ 其中引用了 \cite{CL}。我们首先表明，如果 $E \subset \He$ 是一个 $1$-Ahlfors regular set，且与核 $K_4$ 相关的 SIO 在 $L^2(E)$-bounded，则 $E$ 包含在一个 $1$-Ahlfors regular 曲线中。结合 F"assler 和 Orponen 在 \cite{FO1dim} 中获得的反向含义，我们的结果为通过奇异积分的 $L^2$-boundedness 刻画 Heisenberg 群中的 uniform $1$-rectifiability 提供了特征。我们也给出对 F"assler 和 Orponen 从 \cite{FO1dim} 中提问的否定答案，表明对于任意 $\alpha \in (0,2)$，存在一个 $1$-Ahlfors regular 曲线 $E_a$，使得与核 $K_\alpha$ 相关的算子在 $L^2(E_\alpha)$ 中不可约束。我们最终表明存在一个 $1$-Ahlfors regular 且纯 $1$-unrectifiable 集 $E$，使得与 $|x| \|(x,y,z)\|^{-2}$ 相关的奇异积分在 $L^2(E)$ -bounded。