论 Cuntz 代数及其推广的单纯性

Cuntz 代数 $\mathcal O_2$ 是由满足 $s_1s_1^*+s_2s_2^*=1$ 的两个等距映射 $s_1, s_2$ 生成的泛 $C^*$-代数。这是一个包含任何核 $C^*$-代数副本的可分、单纯、无限 $C^*$-代数。$C^*$-代数 $\mathcal O_2$ 在现代 $C^*$-代数理论中扮演着核心角色，并出现在许多实质性陈述中，包括著名的均匀系数定理（UCT）的表述。该概念有几种推广，包括 Cuntz 代数 $\mathcal O_n$、对应于矩阵 $A$ 的 Cuntz-Krieger 代数 $\mathcal O_A$、对应于 $C^*$-对应 $X$ 的 Cuntz-Pimsner 代数 $\mathcal O_X$ 及其由 Katsura 给出的松弛版本，以及对应于乘积系统 $X$ 的 Cuntz-Nica-Pimsner 代数 $\mathcal {NO}_X$。我们概述了这些 $C^*$-代数类的构造，重点关注确保其单纯性的条件，这在 Elliott 分类纲领中是必需的。除了我们对约化 Cuntz-Nica-Pimsner 代数 $\mathcal{NO}^r_X$ 单纯性充分条件的讨论（专家们现已熟知）之外，我们所展示的结果现已成为文献的一部分，但可能对我们的部分受众来说是新的。