关于无切线的集合与圆锥曲线的外部集

在$\PG(2,q)$中，无切线的集合是指这样的点集S，使得没有直线恰好与S交于一点。圆锥曲线$\mathcal{C}$的外部集是指这样的点集$\E$，使得$\E$的所有割线都是$\mathcal{C}$的外部线。本文首先回顾了一些已知的无切线集合的例子，并用仿射点集的确定方向来描述它们。我们证明了$\PG(2,5)$中最小的无切线集合（在射影等价意义下）有两种不同类型。我们通过给出$\PG(2,q)$（$q=p^h$，$p>2$为素数）中大小为$q(q-1)/2-r(q+1)/2$（对所有$0\leq r\leq (q-5)/2$）的无切线集合的显式构造，推广了非平凡类型。之后，利用圆锥曲线的外部集给出了$\PG(2,5)$中同一集合的另一种描述，并研究了在$\PG(2,q)$中，圆锥曲线的一条外部线$L$上的外部点集如何通过添加一个额外点$Q$扩展为更大的$\mathcal{C}$的外部集。结果表明，若$q\equiv 3\pmod 4$，则$Q$必须位于$L$上；而若$q\equiv 1\pmod 4$，则存在一个不在$L$上的唯一点$Q$。