有限德萨格平面中仿射型正则集及其相关码

本文考虑有限德萨格平面中的点集，其与直线的相交数多重集除一个例外平行线类外均相同。我们称此类集合为仿射型正则集。当例外平行线类中的直线具有相同的相交数时，我们称这些集合为指向型正则集。经典例子有单位圆（unital）；Hirschfeld 与 Szőnyi 于 1991 年对具有较少相交数的此类集合作了详尽研究与构造。本文给出正则集的一些一般构造方法并描述若干无限族。其中一族的元素具有单位圆的大小，并与 $\mathrm{PG}(2, q^2)$ 的仿射直线相交于 $4$ 个可能的相交数之一，每个均模 $\sqrt{q}$ 同余于 $1$。作为副产品，我们确定了定义在 $\mathrm{GF}(q^2)$ 上的 Hermitian 曲线与合适的有理曲线（次数为 $\sqrt{q}$）的相交大小，并获得了具有 $5$ 个非零重量的 $\sqrt{q}$-可分码。我们还确定了由一般构造模若干 $q$ 次幂所得码的重量枚举式。