论正则约化积

假设 $\langle\aleph_0,\aleph_1\rangle\to\langle\lambda,\lambda^+\rangle$。设 $M$ 是基数至多为 $\lambda^+$ 的一阶理论 $T$ 在词汇表 $L(T)$（基数 $\le \lambda$）中的模型。令 $N$ 为具有相同词汇表的模型。令 $\Delta$ 为 $L(T)$ 中一阶公式的集合，$D$ 为 $\lambda$ 上的正则滤子。则只要 $M$ 中成立的每个 $\Delta$-存在公式在 $N$ 中也成立，$M$ 便 $\Delta$-可嵌入到约化幂 $N^\lambda/D$ 中。我们得到如下推论：对如上 $M$ 及 $\lambda$ 上的正则超滤子 $D$，$M^\lambda/D$ 是 $\lambda^{++}$-通用的。我们的第二个结果如下：对 $i<\mu$，令 $M_i$ 与 $N_i$ 为词汇表（基数 $\le\lambda$）上初等等价的模型。设 $D$ 是 $\mu$ 上的正则滤子且 $\langle\aleph_0,\aleph_1\rangle\to\langle\lambda,\lambda^+\rangle$ 成立。我们证明此时第二玩家在 $\prod_i M_i/D$ 与 $\prod_i N_i/D$ 上的长度为 $\lambda^+$ 的 Ehrenfeucht-Fraïssé 博弈中有获胜策略。由此得推论：假设 GCH 且 $\lambda$ 正则。对如上 $L$、$M_i$ 与 $N_i$，若 $D$ 是 $\lambda$ 上的正则滤子，则 $\prod_i M_i/D \cong \prod_i N_i/D$。