约化积的饱和性

我们研究可数语言中可数结构的约化积 $M=\prod_n M_n/\mathrm{Fin}$，该约化积与弗雷歇理想相关。我们证明，如果其理论是稳定的，则这样的 $M$ 是 $2^{\aleph_0}$-饱和的；否则，它不是 $\aleph_2$-饱和的（无论连续统假设是否成立）。这意味着，如果其理论是稳定的，即使连续统假设不成立，$M$ 也同构于一个超幂（与 $\mathbb N$ 上的一个超滤子相关）。我们还改进了Farah和Shelah的一个结果，并证明存在一个力迫扩张，在其中这样的约化积 $M$ 同构于一个超幂当且仅当 $M$ 的理论是稳定的。所有这些结论都适用于与 $F_\sigma$ 理想或更一般的分层理想相关的约化积。我们还证明，如果其理论不稳定，与渐近密度零理想 $\mathcal Z_0$ 或任何其他非 $F_\sigma$ 的解析P-理想相关的约化积甚至不是 $\aleph_1$-饱和的。