两项Machin类公式的细化研究

我们发展了一种用于两项Machin类公式的细化过程：$a_0 \arctan{u_0} + a_1 \arctan{u_1} = \frac{\pi}{4}$（其中$a_0, a_1 \in \mathbb{Z}$，$u_0, u_1 \in \mathbb{Q}_+^*$，$u_0 > u_1$），通过利用比值$\alpha := \frac{\arctan{u_0}}{\arctan{u_1}}$的连分数展开来实现。这种构造产生一系列派生的两项Machin类公式：$a_{-n} \arctan{u_n} + a_{-n+1} \arctan{u_{n+1}} = \frac{\pi}{4}$（$n \in \mathbb{N}$），其中正有理数参数$u_n$逐渐减小至零，对应的整数系数为$a_{-n}$。我们给出了$a_{-n}$和$u_n$的闭式表达式和估计，这些表达式以$\alpha$的收敛分数为参数，并证明了相关有理数序列$(a_{-n} u_n + a_{-n+1} u_{n+1})_n$以几何衰减速率收敛于$\pi/4$。该方法以欧拉的两项Machin类公式$\arctan(1/2) + \arctan(1/3) = \pi/4$为例加以说明。