用牛顿-拉夫逊迭代与二项类 Machin 公式高效计算 pi

在我们最近的出版物中，我们提出了一种确定具有小幅度反正切函数参数的二项类 Machin 公式 for pi 的新方法，形式为 $$\frac{\pi }{4} = {2^{k - 1}}\arctan \left( {\frac{1}{{{\beta_1}}}} \right) + \arctan \left( {\frac{1}{{{\beta_2}}}} \right),$$ 其中 $k$ 和 ${\beta_1}$ 为某些整数，${\beta_2}$ 为依赖于 ${\beta_1}$ 和 $k$ 的有理数。尽管 ${1/\left|\beta_2\right|}$ 可能显著小于 ${1/\beta_1}$，但 $\beta_2$ 分子与分母中的大数会拖慢计算。本工作中我们展示了如何借助牛顿--拉夫逊迭代法有效解决这一问题。