重访 Gilbert Strang 的《对 $i$ 的混沌搜索》

在论文《对 $i$ 的混沌搜索》（\cite{strang1991chaotic}）中，Strang 完整解释了当在 $f(x) = x^{2}+1$（仅有一对复根 $\pm i$）上使用实初始猜测时牛顿方法的行为。他探索了该迭代的一个精确符号公式，即 $x_{n}=\cot{ \left( 2^{n} \theta_{0} \right) }$，该公式在精确算术下成立。在本文中，我们将此推广到 $k$ 阶 Householder 方法（包括 Halley 方法）以及割线法。给出了两个公式：$x_{n}=\cot{ \left( \theta_{n-1}+\theta_{n-2} \right) }$，其中 $\theta_{n-1}=\mathrm{arccot}{\left(x_{n-1}\right)}$ 且 $\theta_{n-2}=\mathrm{arccot}{\left(x_{n-2}\right)}$，以及 $x_{n}=\cot{ \left( (k+1)^{n} \theta_{0} \right) }$，其中 $\theta_{0} = \mathrm{arccot}(x_{0})$。其渐近行为与周期特征通过实验计算加以说明。我们表明其他方法（第一类 Schröder 迭代）通常并非如此简单。我们还解释了一种旧方法，可用于让 Maple 的 \textsl{Fractals[Newton]} 包通过将一般单步迭代伪装成牛顿迭代来可视化它们。