非线性方程割线法的推广（扩展版）

割线法是一种非常有效的数值方法，用于求解形如 $f(x)=0$ 的非线性方程。它通过线性插值过程导出，且仅使用 $f(x)$ 在 $f(x)=0$ 根的近似处的值，因此每次迭代只计算一次 $f(x)$。在本文中，我们通过将相关的线性插值多项式替换为合适的 $(k+1)$ 点插值多项式（其中 $k$ 为不小于 2 的整数）来对其进行推广。与割线法一样，该推广方法同样具有每次迭代仅计算一次 $f(x)$ 的特性。我们以封闭形式给出了其误差，并分析了其收敛阶 $s_k$。我们证明了该收敛阶大于割线法的收敛阶，且当 $k\to \infty$ 时趋近于 $2$。（例如，确实有 $s_7=1.9960\cdots$。）该方法的效率指数也是如此。我们还通过一个说明性例子验证了该理论。