关于$(r,c)$-常数图、平面图和循环图

本文研究$(r,c)$-常数图，即每个顶点的开邻域所诱导的子图恰好包含$c$条边的$r$-正则图。$(r,c)$-图族包含顶点传递图（特别是 Cayley 图）、常链接图（有时称为局部同构图）、$(r,b)$-正则图、强正则图等。该族最近在 [arXiv:2312.08777] 中被引入，作为构建翻转图的重要工具 [arXiv:2312.08777, arXiv:2401.02315]。本文主要处理以下内容：i. $(r, c)$-平面图的存在性与非存在性。我们完全确定了此类图的存在与不存在的情况，并在存在时提供了最小阶数。ii. 考虑$(r, c)$-循环图的存在性。我们证明了当$c \equiv 2 \ (\mathrm{mod} \ 3)$时，不存在$(r,c)$-循环图；而当$c \equiv 0, 1 \ (\mathrm{mod} \ 3)$，$c > 0$且$r \geq 6 + \sqrt{\frac{8c - 5}{3}}$时，存在$(r,c)$-循环图。此外，对于$c = 0$且$r \geq 1$，$(r, 0)$-循环图存在。iii. 考虑小型$(r,c)$-常数图的存在性与非存在性，提供了我们在$0 \leq c \leq \binom{r}{2}$且$r \leq 6$范围内找到的图的最小阶数的完整表格。我们还将确定该范围内所有$(r,c)$-常数图不存在的情况。我们建立了一个公开的$(r,c)$-常数图数据库，涵盖不同的$r$、$c$和阶数。